Commit 8bacb464 authored by Michael Kohlhase's avatar Michael Kohlhase

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\begin{mhmodnl}[creators=miko]{interval-partition}{de}
\begin{definition}
Eine \defi[name=partition]{Zerlegung} eines \mtrefi[interval?interval]{Intervalls} $\ccinterval{a}b$
ist eine \mtrefii[sequences?finite-sequence]{endliche}{Folge}
$\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$, so da"s $\seqsel{x}0=a$, $\seqsel{x}n=b$ und
$\reallessthan{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ f"ur alle
$\multirel0\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}$.
Wir nennen die \mtrefi[interval?interval]{Intervalle}
$\ccinterval{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$
\adefi[name=subinterval]{Teilintervalle}{Teilintervall} von $P$.
Die \defi[name=norm]{Norm} or \defi[name=norm]{Feinheit} von $P$ ist
$\maxval{\bsetst{i}{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}}{\multirelation1\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}}}$.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{interval-partition}{en}
\begin{definition}
A \defi{partition} of an \trefi[interval]{interval} $\ccinterval{a}b$ is a
\trefii[sequences]{finite}{sequence} $\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$, such that
$\seqsel{x}0=a$, $\seqsel{x}n=b$, and
$\reallessthan{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ for all
$\multirelation0\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}$.
An \trefi[interval]{interval} $\ccinterval{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ is
referred to as a \defi{subinterval} of $P$.
The \defi{norm} or \defi[name=norm]{mesh} of $P$ is
$\maxval{\bsetst{i}{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}}{\multirelation1\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}}}$.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modsig}[creators=miko]{interval-partition}
\gimport{interval}
\gimport{sequences}
\gimport[smglom/sets]{multirel}
\gimport[smglom/arithmetics]{minmax}
\symi{partition}
\symi{subinterval}
\symi{norm}
\end{modsig}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "all.en"
%%% End:
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{logistic-function}{de}
\begin{definition}
Die Funktion
$\fundefeq{x}{\logisticfunction{x}}{\frac{a}{\realplus{1,\power\enumb{\realtimes{-k,\realminus{x-x_0}}}}}}$,
wird die \defii[name=logistic-function]{logistische}{Funktion} mit
\defi[name=maximum-value]{Maximalwert} $a$, \defi[name=midpoint-value]{Mittlepunktwert}
$x_0$, und \defi[name=growth-rate]{Wachstum} $k$. Wir nennen $\logisticfunctionOp$
\defiii[name=standard-logistic-curve]{standard}{logistische}{Funktion} f"ur $x_0=0$ and
$a=k=1$.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{metric-continuous}{de}
\begin{definition}
Seien $\mvstructure{X, \livar{d}{X}}$ und $\mvstructure{Y, \livar{d}{Y}}$
\mtrefii[metric-space?metric-space]{metrische}{R"aume}, $\sseteq{\primvar{X}}X$ und
$\sseteq{\primvar{Y}}Y$. Dann nennen wir eine \mtrefi[function?function]{Funktion}
$\fun{f}{\primvar{X}}{\primvar{Y}}$ \defi[name=continuous-at]{stetig} im Punkt
$\inset{\livar{x}{0}}{\primvar{X}}$, falls es zu jedem $\pomore{\epsilon}{0}$ ein
$\pomore{\delta}{0}$ gibt, so da"s
$\poless{\nappa{\livar{d}{Y}}{\nappa{f}{x}, \nappa{f}{\livar{x}{0}}}}{\epsilon}$ f"ur
alle $\inset{x}{X}$ mit $\poless{\nappa{\livar{d}X}{x,\livar{x}{0}}}{\delta}$.
\end{definition}
\begin{definition}
Eine \mtrefi[functions?function]{Funktion} wird \defi[name=continuous]{stetig}
genannt, wenn sie \mtrefi[?continuous]{stetig} auf allen Punkten in $X$ ist.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{riemannintegral}{de}
\begin{definition}
Seii $\fun{f}D\RealNumbers$ mit $\sseteq{D}\RealNumbers$ und
$\sseteq{\ccinterval{a}b}D$, dann nennen wir $f$
\defi[name=Riemann-integrable]{Riemann-integrierbar}, falls jede
\mtrefi[sequences?sequence]{Folge} $\sequence{S}i$ von
\mtrefii[riemannsum?Riemann-sum]{Riemannscher}{Summen}
\mtrefi[functionlimit?converges]{konvergiert} wenn die
\mtrefi[interval-partition?norm]{Feinheit} der
\mtrefi[interval-partition?partition]{Zerlegung} von $\seqsel{S}i$ geben $0$ geht.
Der \mtrefi[functionlimit?limit]{Grenzwert} $\defeq{r}{\limfun{x}0{S_x}}$, wobei $S_x$
eine \mtrefii[riemannsum?riemann-sum]{Riemanschen}{Summe} f"ur $f$ mit
\mtrefi[interval-partition?partition]{Zerlegung} $\ccinterval{a}b$ der
\mtrefi[interval-partition?norm]{Feinheit} $x$ hei"st \defii{Riemann}{integral} f"ur
$f$ "uber $\ccinterval{a}b$.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{riemannsum}{de}
\begin{definition}
Seien $\defeq{I}{\ccinterval{a}b}$, $\fun{f}I\RealNumbers$ und
$\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$eine \mtrefi[interval-partition?partition]{Zerlegung} von
$I$.
Dann nennen wir die \mtrefi[sum?sum]{Summe}
\[\defeq{S}{\Sumfromto{i}1n{\realtimes{\nappa{f}{y_i},\realminus{\seqsel{x}{\natminus{i,1}},\seqsel{x}i}}}}\]
eine \defii[name=Riemann-sum]{Riemannsche}{Summe} f"ur $f$ "uber $P$, falls
$\inset{y_i}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}{\seqsel{x}i}}$.
Spezialf"alle: Ist $y_i$
\begin{itemize}
\item $\seqsel{x}{\natminus{x,1}}$, so nennen wir $S$ die
\defiii[name=left-Riemann-sum]{linke}{Riemannsche}{Summe},
\item $\seqsel{x}i$, so nennen wir $S$ die
\defiii[name=right-Riemann-sum]{rechte}{Riemannsche}{Summe},
\item $\frac{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}}2$, so nennen wir $S$
die \defiii[name=middle-Riemann-sum]{mittlere}{Riemannsche}{Summe},
\item $\supremum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$, so
nennen wir $S$ die \defiii[name=upper-Riemann-sum]{obere}{Riemannsche}{Summe} oder
\defiii[name=upper-Riemann-sum]{obere}{Darbouxsche}{Summe},
\item $\infimum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$,
so nennen wir $S$ die \defiii[name=lower-Riemann-sum]{untere}{Riemannsche}{Summe} oder
\defiii[name=lower-Riemann-sum]{untere}{Darbouxsche}{Summe},
\end{itemize}
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
% LocalWords: mhmodnl riemannsum defeq ccinterval defeq nseqli Sumfromto seqsel seqsel
% LocalWords: natminus defii defiii Darboux mtrefi Riemannsche uber Spezialf
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{riemannsum}{en}
\begin{definition}
Let $\defeq{I}{\ccinterval{a}b}$, $\fun{f}I\RealNumbers$, and $\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$ be a
\trefi[interval-partition]{partition} of $I$. Then we call the \trefi[sum]{sum}
\[\defeq{S}{\Sumfromto{i}1n{\realtimes{\nappa{f}{y_i},\realminus{\seqsel{x}{\natminus{i,1}},\seqsel{x}i}}}}\]
a \defii{Riemann}{sum} for $f$ over $P$, if
$\inset{y_i}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}{\seqsel{x}i}}$.
Special cases: If $y_i$ is
\begin{itemize}
\item $\seqsel{x}{\natminus{x,1}}$, then $S$ is called the \defiii{left}{Riemann}{sum},
\item $\seqsel{x}i$, then $S$ is called the \defiii{right}{Riemann}{sum},
\item $\frac{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}}2$, then $S$ is called
the \defiii{middle}{Riemann}{sum},
\item $\supremum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$,
then $S$ is called the \defiii{upper}{Riemann}{sum} or \defiii[name=upper-Riemann-sum]{upper}{Darboux}{sum},
\item $\infimum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$,
then $S$ is called the \defiii{lower}{Riemann}{sum} or \defiii[name=lower-Riemann-sum]{lower}{Darboux}{sum},
\end{itemize}
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
% LocalWords: mhmodnl riemannsum defeq ccinterval defeq nseqli Sumfromto seqsel seqsel
% LocalWords: natminus defii defiii Darboux
\begin{modsig}[creators=miko]{riemannsum}
\gimport[smglom/sets]{image}
\gimport{interval-partition}
\gimport{supinf}
\gimport[smglom/arithmetics]{sum}
\symii{Riemann}{sum}
\symiii{left}{Riemann}{sum}
\symiii{right}{Riemann}{sum}
\symiii{middle}{Riemann}{sum}
\symiii{upper}{Riemann}{sum}
\symiii{lower}{Riemann}{sum}
\end{modsig}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{mhmodnl}[creators=smaass]{uniform-continuity}{de}
\begin{definition}
Seien $\mvstructure{X, \livar{d}{X}}$ und $\mvstructure{Y, \livar{d}{Y}}$
\mtrefii[metric-space?metric-space]{metrische}{R"aume}, $\sseteq{\primvar{X}}X$ und
$\sseteq{\primvar{Y}}Y$. Dann nennen wir eine \mtrefi[functions?function]{Funktion}
$\fun{f}{\primvar{X}}{\primvar{Y}}$
\defii[name=uniformly-continuous]{gleichm"a"sig}{stetig}, wenn es f"ur jedes
$\pomore{\epsilon}0$ ein $\pomore{\delta}{0}$ gibt, so da"s
$\poless{\nappa{\livar{d}{Y}}{\nappa{f}{x},\nappa{f}{y}}}\epsilon$ f"ur alle
$\minset{x,y}{\primvar{X}}$ mit $\poless{\nappa{\livar{d}{X}}{x,y}}{\delta}$.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
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