Commit 8bacb464 by Michael Kohlhase

### more

parent e99b50ba
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{interval-partition}{de} \begin{definition} Eine \defi[name=partition]{Zerlegung} eines \mtrefi[interval?interval]{Intervalls} $\ccinterval{a}b$ ist eine \mtrefii[sequences?finite-sequence]{endliche}{Folge} $\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$, so da"s $\seqsel{x}0=a$, $\seqsel{x}n=b$ und $\reallessthan{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ f"ur alle $\multirel0\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}$. Wir nennen die \mtrefi[interval?interval]{Intervalle} $\ccinterval{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ \adefi[name=subinterval]{Teilintervalle}{Teilintervall} von $P$. Die \defi[name=norm]{Norm} or \defi[name=norm]{Feinheit} von $P$ ist $\maxval{\bsetst{i}{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}}{\multirelation1\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}}}$. \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{interval-partition}{en} \begin{definition} A \defi{partition} of an \trefi[interval]{interval} $\ccinterval{a}b$ is a \trefii[sequences]{finite}{sequence} $\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$, such that $\seqsel{x}0=a$, $\seqsel{x}n=b$, and $\reallessthan{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ for all $\multirelation0\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}$. An \trefi[interval]{interval} $\ccinterval{\seqsel{x}i}{\seqsel{x}{\natplus{i,1}}}$ is referred to as a \defi{subinterval} of $P$. The \defi{norm} or \defi[name=norm]{mesh} of $P$ is $\maxval{\bsetst{i}{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}}{\multirelation1\natlethanOp{i}\natlethanOp{n}}}$. \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modsig}[creators=miko]{interval-partition} \gimport{interval} \gimport{sequences} \gimport[smglom/sets]{multirel} \gimport[smglom/arithmetics]{minmax} \symi{partition} \symi{subinterval} \symi{norm} \end{modsig} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "all.en" %%% End:
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{logistic-function}{de} \begin{definition} Die Funktion $\fundefeq{x}{\logisticfunction{x}}{\frac{a}{\realplus{1,\power\enumb{\realtimes{-k,\realminus{x-x_0}}}}}}$, wird die \defii[name=logistic-function]{logistische}{Funktion} mit \defi[name=maximum-value]{Maximalwert} $a$, \defi[name=midpoint-value]{Mittlepunktwert} $x_0$, und \defi[name=growth-rate]{Wachstum} $k$. Wir nennen $\logisticfunctionOp$ \defiii[name=standard-logistic-curve]{standard}{logistische}{Funktion} f"ur $x_0=0$ and $a=k=1$. \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{metric-continuous}{de} \begin{definition} Seien $\mvstructure{X, \livar{d}{X}}$ und $\mvstructure{Y, \livar{d}{Y}}$ \mtrefii[metric-space?metric-space]{metrische}{R"aume}, $\sseteq{\primvar{X}}X$ und $\sseteq{\primvar{Y}}Y$. Dann nennen wir eine \mtrefi[function?function]{Funktion} $\fun{f}{\primvar{X}}{\primvar{Y}}$ \defi[name=continuous-at]{stetig} im Punkt $\inset{\livar{x}{0}}{\primvar{X}}$, falls es zu jedem $\pomore{\epsilon}{0}$ ein $\pomore{\delta}{0}$ gibt, so da"s $\poless{\nappa{\livar{d}{Y}}{\nappa{f}{x}, \nappa{f}{\livar{x}{0}}}}{\epsilon}$ f"ur alle $\inset{x}{X}$ mit $\poless{\nappa{\livar{d}X}{x,\livar{x}{0}}}{\delta}$. \end{definition} \begin{definition} Eine \mtrefi[functions?function]{Funktion} wird \defi[name=continuous]{stetig} genannt, wenn sie \mtrefi[?continuous]{stetig} auf allen Punkten in $X$ ist. \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{riemannintegral}{de} \begin{definition} Seii $\fun{f}D\RealNumbers$ mit $\sseteq{D}\RealNumbers$ und $\sseteq{\ccinterval{a}b}D$, dann nennen wir $f$ \defi[name=Riemann-integrable]{Riemann-integrierbar}, falls jede \mtrefi[sequences?sequence]{Folge} $\sequence{S}i$ von \mtrefii[riemannsum?Riemann-sum]{Riemannscher}{Summen} \mtrefi[functionlimit?converges]{konvergiert} wenn die \mtrefi[interval-partition?norm]{Feinheit} der \mtrefi[interval-partition?partition]{Zerlegung} von $\seqsel{S}i$ geben $0$ geht. Der \mtrefi[functionlimit?limit]{Grenzwert} $\defeq{r}{\limfun{x}0{S_x}}$, wobei $S_x$ eine \mtrefii[riemannsum?riemann-sum]{Riemanschen}{Summe} f"ur $f$ mit \mtrefi[interval-partition?partition]{Zerlegung} $\ccinterval{a}b$ der \mtrefi[interval-partition?norm]{Feinheit} $x$ hei"st \defii{Riemann}{integral} f"ur $f$ "uber $\ccinterval{a}b$. \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{riemannsum}{de} \begin{definition} Seien $\defeq{I}{\ccinterval{a}b}$, $\fun{f}I\RealNumbers$ und $\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$eine \mtrefi[interval-partition?partition]{Zerlegung} von $I$. Dann nennen wir die \mtrefi[sum?sum]{Summe} $\defeq{S}{\Sumfromto{i}1n{\realtimes{\nappa{f}{y_i},\realminus{\seqsel{x}{\natminus{i,1}},\seqsel{x}i}}}}$ eine \defii[name=Riemann-sum]{Riemannsche}{Summe} f"ur $f$ "uber $P$, falls $\inset{y_i}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}{\seqsel{x}i}}$. Spezialf"alle: Ist $y_i$ \begin{itemize} \item $\seqsel{x}{\natminus{x,1}}$, so nennen wir $S$ die \defiii[name=left-Riemann-sum]{linke}{Riemannsche}{Summe}, \item $\seqsel{x}i$, so nennen wir $S$ die \defiii[name=right-Riemann-sum]{rechte}{Riemannsche}{Summe}, \item $\frac{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}}2$, so nennen wir $S$ die \defiii[name=middle-Riemann-sum]{mittlere}{Riemannsche}{Summe}, \item $\supremum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$, so nennen wir $S$ die \defiii[name=upper-Riemann-sum]{obere}{Riemannsche}{Summe} oder \defiii[name=upper-Riemann-sum]{obere}{Darbouxsche}{Summe}, \item $\infimum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$, so nennen wir $S$ die \defiii[name=lower-Riemann-sum]{untere}{Riemannsche}{Summe} oder \defiii[name=lower-Riemann-sum]{untere}{Darbouxsche}{Summe}, \end{itemize} \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: % LocalWords: mhmodnl riemannsum defeq ccinterval defeq nseqli Sumfromto seqsel seqsel % LocalWords: natminus defii defiii Darboux mtrefi Riemannsche uber Spezialf
 \begin{mhmodnl}[creators=miko]{riemannsum}{en} \begin{definition} Let $\defeq{I}{\ccinterval{a}b}$, $\fun{f}I\RealNumbers$, and $\defeq{P}{\nseqli{x}0n}$ be a \trefi[interval-partition]{partition} of $I$. Then we call the \trefi[sum]{sum} $\defeq{S}{\Sumfromto{i}1n{\realtimes{\nappa{f}{y_i},\realminus{\seqsel{x}{\natminus{i,1}},\seqsel{x}i}}}}$ a \defii{Riemann}{sum} for $f$ over $P$, if $\inset{y_i}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{i,1}}}{\seqsel{x}i}}$. Special cases: If $y_i$ is \begin{itemize} \item $\seqsel{x}{\natminus{x,1}}$, then $S$ is called the \defiii{left}{Riemann}{sum}, \item $\seqsel{x}i$, then $S$ is called the \defiii{right}{Riemann}{sum}, \item $\frac{\realminus{\seqsel{x}i,\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}}2$, then $S$ is called the \defiii{middle}{Riemann}{sum}, \item $\supremum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$, then $S$ is called the \defiii{upper}{Riemann}{sum} or \defiii[name=upper-Riemann-sum]{upper}{Darboux}{sum}, \item $\infimum{\Image{f}{\ccinterval{\seqsel{x}{\natminus{x,1}}}{\seqsel{x}i}}}$, then $S$ is called the \defiii{lower}{Riemann}{sum} or \defiii[name=lower-Riemann-sum]{lower}{Darboux}{sum}, \end{itemize} \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: % LocalWords: mhmodnl riemannsum defeq ccinterval defeq nseqli Sumfromto seqsel seqsel % LocalWords: natminus defii defiii Darboux
 \begin{modsig}[creators=miko]{riemannsum} \gimport[smglom/sets]{image} \gimport{interval-partition} \gimport{supinf} \gimport[smglom/arithmetics]{sum} \symii{Riemann}{sum} \symiii{left}{Riemann}{sum} \symiii{right}{Riemann}{sum} \symiii{middle}{Riemann}{sum} \symiii{upper}{Riemann}{sum} \symiii{lower}{Riemann}{sum} \end{modsig} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{mhmodnl}[creators=smaass]{uniform-continuity}{de} \begin{definition} Seien $\mvstructure{X, \livar{d}{X}}$ und $\mvstructure{Y, \livar{d}{Y}}$ \mtrefii[metric-space?metric-space]{metrische}{R"aume}, $\sseteq{\primvar{X}}X$ und $\sseteq{\primvar{Y}}Y$. Dann nennen wir eine \mtrefi[functions?function]{Funktion} $\fun{f}{\primvar{X}}{\primvar{Y}}$ \defii[name=uniformly-continuous]{gleichm"a"sig}{stetig}, wenn es f"ur jedes $\pomore{\epsilon}0$ ein $\pomore{\delta}{0}$ gibt, so da"s $\poless{\nappa{\livar{d}{Y}}{\nappa{f}{x},\nappa{f}{y}}}\epsilon$ f"ur alle $\minset{x,y}{\primvar{X}}$ mit $\poless{\nappa{\livar{d}{X}}{x,y}}{\delta}$. \end{definition} \end{mhmodnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
Markdown is supported
0% or
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!