Commit c3144597 authored by Michael Kohlhase's avatar Michael Kohlhase

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\begin{mhmodnl}[creators=miko,srccite=Rudin:fa73]{Heine-Borel}{de}
\begin{definition}
Wir sagen, dass ein \trefii[topological-vectorspace]{topologischer}{Vektorraum} die
\defii[Heine-Borel-property]{Heine-Borel}{Eigenschaft} hat, falls jede
\defii[name=Heine-Borel-property]{Heine-Borel}{Eigenschaft} hat, falls jede
\mtrefi[open-set-topology?closed]{abgeschlossen}e und
\mtrefi[bounded-topvr?bounded]{beschr"ankt}e Teilmenge seiner
\mtrefi[topological-vectorspace?base-set]{Grundmenge} \mtrefi[compact?compact]{kompakt}
......
......@@ -9,7 +9,7 @@
\mtrefi[vector-space?zero-vector]{Nullvektor} $\vzero$ "uber einem
\mtrefi[partial-order?ordered]{geordnetem} \mtrefi[field?field]{K"orper}
$\mvstructure{\cF,\poleOp}$ mit \mtrefi[field?base-set]{Grundmenge} $F$. Dann nennen wir
$\sseteq{E}V$ \defi[bounded]{beschr"ankt}, falls es f"ur jede
$\sseteq{E}V$ \defi[name=bounded]{beschr"ankt}, falls es f"ur jede
\mtrefi[neighborhood?neighborhood]{Umgebung} $N$ von $\vzero$ in $V$, ein
$\pole{a}\vzero$ in $F$ gibt mit $\sseteq{E}{\smul{a}V}$.
\end{definition}
......
......@@ -4,9 +4,9 @@
$\ndim{n}\RealNumbers$ is the function
\[\fundefeq{v}{\euclideannorm{\ntupli{v}1n}}{\sqrt{\Sumfromto{i}1n{\realpower{v_i}2}}}\]
The \trefii{Euclidean}{norm} is also called the \defii[Euclidean-norm]{Euclidean}{length},
\defii[Euclidean-norm]{$L^2$}{distance}, \defii[Euclidean-norm]{$L^2$}{norm},
\defii[Euclidean-norm]{$\ell^2$}{distance}, or \defii[Euclidean-norm]{$\ell^2$}{norm},
The \trefii{Euclidean}{norm} is also called the \defii[name=Euclidean-norm]{Euclidean}{length},
\defii[name=Euclidean-norm]{$L^2$}{distance}, \defii[name=Euclidean-norm]{$L^2$}{norm},
\defii[name=Euclidean-norm]{$\ell^2$}{distance}, or \defii[name=Euclidean-norm]{$\ell^2$}{norm},
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
......
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{frechet-space}{de}
\begin{definition}
Wir nennen einen \mtrefi[fspace?F-space]{F-Raum}
\defii[Frechet-space]{Fre\'echet}{Raum}, falls er
\defii[name=Frechet-space]{Fre\'echet}{Raum}, falls er
\mtrefii[locally-convex?locally-convex]{lokal}{konvex} ist.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
......
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{frechet-space}{en}
\begin{definition}
We call an \trefi[fspace]{F-space} a \defii[Frechet-space]{Fre\'echet}{space}, iff it is
We call an \trefi[fspace]{F-space} a \defii[name=Frechet-space]{Fre\'echet}{space}, iff it is
\trefii[locally-convex]{locally}{convex}.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
......
......@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{definition}
Wir nennen einen
\mtrefii[topological-vectorspace?topological-vector-space]{topologishen}{Vektorraum}
einen \defi[fspace]{F-Raum}, wenn seine
einen \defi[name=fspace]{F-Raum}, wenn seine
\mtrefi[topological-vectorspace?topology]{Topologie} durch eine
\mtrefi[complete?complete]{vollst"andig}e,
\mtrefi[translation-invariant-metric?translation-invariant]{translationsinvariant}e
......
\begin{mhmodnl}[creators=miko]{fspace}{en}
\begin{definition}
We call a \trefiii[topological-vectorspace]{topological}{vector}{space} an
\defi[fspace]{F-space}, iff its \trefi[topological-vectorspace]{topology} is
\defi[name=fspace]{F-space}, iff its \trefi[topological-vectorspace]{topology} is
\mtrefi[metric-induced-topology?induced-topology]{induced} by a
\trefi[complete]{complete},
\trefii[translation-invariant-metric]{translation}{invariant}
......
......@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{definition}
Ein
\mtrefii[topological-vectorspace?topological-vector-space]{topologischer}{Vektorraum}
$\mvstructure{X,\cO}$ hei"st \defii[locally-bounded]{lokal}{beschr"ankt}, wenn der
$\mvstructure{X,\cO}$ hei"st \defii[name=locally-bounded]{lokal}{beschr"ankt}, wenn der
\mtrefi[vector-space?zero]{Nullvektor} eine \mtrefi[bounded-topvr?bounded]{beschr"ankte}
\trefi[neighborhood]{Umgebung} hat.
\end{definition}
......
......@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{definition}
Ein
\mtrefii[topological-vectorspace?topological-vector-space]{topologischer}{Vektorraum}
$\mvstructure{X,\cO}$ hei"st \defii[locally-convex]{lokal}{konvex}, wenn er eine
$\mvstructure{X,\cO}$ hei"st \defii[name=locally-convex]{lokal}{konvex}, wenn er eine
\mtrefii[local-base?local-base]{lokale}{Basis} hat, deren Elemente alle
\mtrefi[convex?convex]{konvex} sind.
\end{definition}
......
......@@ -4,7 +4,7 @@
\mtrefii[norm?normed-vector-space]{normierter}{Vektorraum}, so ist
$\fundefeq{x,y}{\ametric{x}y}{\anorm{x-y}}$ eine
\mtrefi[metric-space?distance-function]{Abstrandsfunktion}.} Wir nennen $d$ die von
$\anormOp$ \defii[induced-metric]{induzierte}{Metrik}.
$\anormOp$ \defii[name=induced-metric]{induzierte}{Metrik}.
\end{definition}
\begin{sproof}[for=obl.norm-metric.de]{Wir zeigen die drei Eigenschaften einer
\mtrefi[metric-space?distance-function]{Abstrandsfunktion}:}
......
......@@ -4,18 +4,18 @@
\mtrefi[subfield?subfield]{Subk"orper} $F$ der
\mtrefii[complexnumbers?complex-number]{komplexen}{Zahlen}}, und $\vbaseset$ seine
\mtrefii[vector-space?base-set]{Grundmenge}, so nennen wir eine Funktion
$\fun\anormOp\vbaseset\RealNumbers$ eine \defi[norm]{Norm} auf $\cV$, wenn f"ur alle
$\fun\anormOp\vbaseset\RealNumbers$ eine \defi[name=norm]{Norm} auf $\cV$, wenn f"ur alle
$\inset{a}F$ und $\minset{u,v}\vbaseset$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $\anorm{\smul{a}v}=\realtimes{\absolutevalue{a},\anorm{v}}$
(\defii[absolute-homogeneity]{absolute}{Homogenit"at}).
(\defii[name=absolute-homogeneity]{absolute}{Homogenit"at}).
\item $\reallethan{\anorm{\vadd{u,v}}}{\realplus{\anorm{u},\anorm{v}}}$
(\defi[triangle-inequality]{Dreiecksungleichung}).
(\defi[name=triangle-inequality]{Dreiecksungleichung}).
\item If $\anorm{v}=0$, then $v$ is the zero vector
(\defi[separates-points]{Definitheit}).
(\defi[name=separates-points]{Definitheit}).
\end{enumerate}
Wir nennen das Paar $\mvstructure{\cV,\anormOp}$ einen
\defii[normed-vector-space]{normierten}{Vektorraum}.
\defii[name=normed-vector-space]{normierten}{Vektorraum}.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
......
......@@ -9,10 +9,10 @@
\item
\assdef[absolute-homogeneity]{$\anorm{\smul{a}v}=\realtimes{\absolutevalue{a},\anorm{v}}$}
(\defii{absolute}{homogeneity} or
\defii[absolute-homogeneity]{absolute}{scalability}).
\defii[name=absolute-homogeneity]{absolute}{scalability}).
\item
\assdef[triangle-equality]{$\reallethan{\anorm{\vadd{u,v}}}{\realplus{\anorm{u},\anorm{v}}}$}
(\defii{triangle}{inequality} or \defi[triangle-inequality]{subadditivity}).
(\defii{triangle}{inequality} or \defi[name=triangle-inequality]{subadditivity}).
\item \assdef[separates-points]{If $\anorm{v}=0$, then $v$ is the zero vector}
($\anormOp$ \defii{separates}{points}).
\end{enumerate}
......
......@@ -5,8 +5,8 @@
\mtrefi[open-set-topology?topology]{Topologie} f"ur $V$, so dass die
\mtrefi[vector-space?operation]{Vektorraumoperationen}
\mtrefi[continuous?continuous]{stetig} sind, so nennen wir $\cO$ eine
\defi[vector-topology]{Vektortopologie} und $\mvstructure{\cV,\cO}$ einen
\adefii[topological-vector-space]{topologischen Vektorraum}{topologischer}{Vektorraum}.
\defi[name=vector-topology]{Vektortopologie} und $\mvstructure{\cV,\cO}$ einen
\adefii[name=topological-vector-space]{topologischen Vektorraum}{topologischer}{Vektorraum}.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
%%% Local Variables:
......
......@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{definition}
Ein
\mtrefii[topological-vectorspace?topological-vector-space]{topologischer}{Vektorraum}
hei"st \defii[locally-compact]{lokal}{kompakt}, falls sein
hei"st \defii[name=locally-compact]{lokal}{kompakt}, falls sein
\mtrefi[vector-space?zero-vector]{Nullvektor} eine
\mtrefi[neighborhood?neighborhood]{Umgebung} hat mit \mtrefi[compact?compact]{kompakt}em
\mtrefi[closureinterior?closure]{Abschlu"s} hat.
......
......@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{definition}
Wir nennen einen
\mtrefii[topological-vectorspace?topological-vector-space]{topologischen}{Vektorraum}
$\cV$ \defi[metrizable]{metrisierbar}, wenn es eine
$\cV$ \defi[name=metrizable]{metrisierbar}, wenn es eine
\mtrefi[metric-space?distance-function]{Abstandsfunktion} auf der
\mtrefi[topological-vectorspace?base-set]{Grundmenge} von $\cV$ gibt, die die
Topologie von $\cV$ \mtrefi[metric-induced-topology?induced-topology]{induziert}.
......
......@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{definition}
Wir nennen einen
\mtrefii[topological-vectorspace?topological-vector-space]{topologischen}{Vektorraum}
$\cV$ \defi[normable]{normierbar}, wenn es eine \mtrefi[norm?norm]{Norm} gibt, so dass
$\cV$ \defi[name=normable]{normierbar}, wenn es eine \mtrefi[norm?norm]{Norm} gibt, so dass
die \mtrefi[norm-induced-metric?induced-metric]{induzierte}
\mtrefi[metric-space?distance-function]{Abstandsfunktion} auf der
\mtrefi[topological-vectorspace?base-set]{Grundmenge} von $\cV$ die Topologie von
......
......@@ -6,7 +6,7 @@
\mtrefi[vector-space?base-set]{Grundmenge} $V$ eines
\mtrefi[vector-space?vector-space]{Vektorraums}
\mtrefi[vector-space?vector-addition]{Vektoraddition} $\vaddOp$
\defi[invariant]{translationsinvariant}, wenn
\defi[name=invariant]{translationsinvariant}, wenn
$\ametric{v}w=\ametric{\vadd{a,v}}{\vadd{a,w}}$ f"ur alle $\minset{a,v,w}V$.
\end{definition}
\end{mhmodnl}
......
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