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 \begin{modnl}[creators=miko]{convex}{de} \vardef{vaddOp}{+} \vardef[assocarg=1]{vadd}{\assoc[p=300]\vaddOp{#1}} \vardef{vunit}{0} \vardef{vinvOp}{-} \vardef[assocarg=1]{vinv}{\prefix\vinvOp{#1}} \vardef{rnegOp}{-} \vardef{rneg}{\prefix\rnegOp{#1}} \vardef[name=rminus]{rminusOp}{-} \vardef{rminus}{\infix[p=350]\rminusOp{#1}{#2}} \vardef{rmulOp}{\ast} \vardef[assocarg=1]{rmul}{\assoc[p=400]\rmulOp{#1}} \vardef{raddOp}{+} \vardef[assocarg=1]{radd}{\assoc[p=500]\raddOp{#1}} \vardef{rzero}{0} \vardef{rone}{1} \vardef[name=pole]{poleOp}{\leq} \begin{definition} Ist $\cV$ ein \trefi[ring-module]{Modul} "uber einem \mtrefi[partial-order?ordered]{geordnetem} \mtrefi[ring?ring]{Ring} $\cR=\mvstructure{R,\raddOp,\rzero,\rnegOp,\rmulOp,\rone,\poleOp}$ mit \mtrefi[ring-module?base-set]{Grundmenge} $M$ und den \trefi[ring-module]{Operation}en $\vaddOp$, $\vinvOp$ und $\smulOp$, so nennen wir eine Menge $\sseteq{S}{V}$ \defi[convex]{konvex}, falls $\sseteq{\bsetst{t}{\vadd{\smul{t}a,\smul{\rminus1t}b}}{\pobetween{a}\poleOp{x}\poleOp{b}}}S$ f"ur alle $\minset{a,b}S$. \end{definition} \end{modnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modnl}[creators=miko]{convex}{en} \vardef{vaddOp}{+} \vardef[assocarg=1]{vadd}{\assoc[p=300]\vaddOp{#1}} \vardef{vunit}{0} \vardef{vinvOp}{-} \vardef[assocarg=1]{vinv}{\prefix\vinvOp{#1}} \vardef{rnegOp}{-} \vardef{rneg}{\prefix\rnegOp{#1}} \vardef[name=rminus]{rminusOp}{-} \vardef{rminus}{\infix[p=350]\rminusOp{#1}{#2}} \vardef{rmulOp}{\ast} \vardef[assocarg=1]{rmul}{\assoc[p=400]\rmulOp{#1}} \vardef{raddOp}{+} \vardef[assocarg=1]{radd}{\assoc[p=500]\raddOp{#1}} \vardef{rzero}{0} \vardef{rone}{1} \vardef[name=pole]{poleOp}{\leq} \begin{definition} Let $\cM$ be a \trefi[ring-module]{module} over an \trefi[partial-order]{ordered} \trefi[ring]{ring} $\cR=\mvstructure{R,\raddOp,\rzero,\rnegOp,\rmulOp,\rone,\poleOp}$ with \trefii[ring-module]{base}{set} $M$ and the \trefi[ring-module]{operation}s $\vaddOp$, $\vinvOp$, and $\smulOp$, then we call a set $\sseteq{S}{M}$ is called \defi{convex}, iff $\sseteq{\bsetst{t}{\vadd{\smul{t}a,\smul{\rminus1t}b}}{\pobetween{a}\poleOp{x}\poleOp{b}}}S$ for all $\minset{a,b}S$. \end{definition} \end{modnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modsig}[creators=miko]{convex} \gimport[smglom/linear-algebra]{ring-module} \gimport[smglom/sets]{partial-order} \symi{convex} \end{modsig} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modnl}[creators=miko]{convexhull}{de} \begin{definition} Ist $\cM$ ein \trefi[ring-module]{module} "uber einem \mtrefi[partial-order?ordered]{geordneten} \mtrefi[ring?ring]{Ring} und $\sseteq{S}{M}$, wo $M$ die \mtrefii[ring-module?base-set]{Grundmenge} von $\cM$ ist, so ist die \defii[convex-hull]{konvexe H"ulle} von $M$ der Schnitt aller \mtrefi[convex?convex]{konvexen} Mengen, die $S$ enthalten. \end{definition} \end{modnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modnl}[creators=miko]{convexhull}{en} \begin{definition} Let $\cM$ be a \trefi[ring-module]{module} over an \trefi[partial-order]{ordered} \trefi[ring]{ring} and $\sseteq{S}{M}$, where $M$ is the \trefii[ring-module]{base}{set} of $\cM$, then the \defii{convex}{hull} of $S$ is the intersection of all \trefi[convex]{convex} sets containing $S$. \end{definition} \end{modnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modsig}[creators=miko]{convexhull} \gimport{convex} \symii{convex}{hull} \end{modsig} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modnl}[creators=miko]{convexpolytope}{de} \begin{definition} Ein \defii[convex-polytope]{konvexes}{Polytop} ist definiert als die \mtrefii[convexhull?convex-hull]{konvexe}{H"ulle} einer Menge von Punkten im \mtrefii[nspace?Euclidean-space]{Euklidischen}{Raum}. \end{definition} \end{modnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modnl}[creators=miko]{convexpolytope}{en} \begin{definition} A \defii{convex}{polytope} is defined as the \trefii[convexhull]{convex}{hull} of a set of points in \trefii[nspace]{Euclidean}{space}. \end{definition} \end{modnl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
 \begin{modsig}[creators=miko]{convexpolytope} \gimport[smglom/linear-algebra]{nspace} \gimport{convexhull} \symii{convex}{polytope} \end{modsig} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End:
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