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\begin{modnl}[creators=miko]{convex}{de}
\vardef{vaddOp}{+}
\vardef[assocarg=1]{vadd}[1]{\assoc[p=300]\vaddOp{#1}}
\vardef{vunit}{0}
\vardef{vinvOp}{-}
\vardef[assocarg=1]{vinv}[1]{\prefix\vinvOp{#1}}
\vardef{rnegOp}{-}
\vardef{rneg}[1]{\prefix\rnegOp{#1}}
\vardef[name=rminus]{rminusOp}{-}
\vardef{rminus}[2]{\infix[p=350]\rminusOp{#1}{#2}}
\vardef{rmulOp}{\ast}
\vardef[assocarg=1]{rmul}[1]{\assoc[p=400]\rmulOp{#1}}
\vardef{raddOp}{+}
\vardef[assocarg=1]{radd}[1]{\assoc[p=500]\raddOp{#1}}
\vardef{rzero}{0}
\vardef{rone}{1}
\vardef[name=pole]{poleOp}{\leq}
\begin{definition}
Ist $\cV$ ein \trefi[ring-module]{Modul} "uber einem
\mtrefi[partial-order?ordered]{geordnetem} \mtrefi[ring?ring]{Ring}
$\cR=\mvstructure{R,\raddOp,\rzero,\rnegOp,\rmulOp,\rone,\poleOp}$ mit
\mtrefi[ring-module?base-set]{Grundmenge} $M$ und den \trefi[ring-module]{Operation}en
$\vaddOp$, $\vinvOp$ und $\smulOp$, so nennen wir eine Menge $\sseteq{S}{V}$
\defi[convex]{konvex}, falls
$\sseteq{\bsetst{t}{\vadd{\smul{t}a,\smul{\rminus1t}b}}{\pobetween{a}\poleOp{x}\poleOp{b}}}S$
f"ur alle $\minset{a,b}S$.
\end{definition}
\end{modnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modnl}[creators=miko]{convex}{en}
\vardef{vaddOp}{+}
\vardef[assocarg=1]{vadd}[1]{\assoc[p=300]\vaddOp{#1}}
\vardef{vunit}{0}
\vardef{vinvOp}{-}
\vardef[assocarg=1]{vinv}[1]{\prefix\vinvOp{#1}}
\vardef{rnegOp}{-}
\vardef{rneg}[1]{\prefix\rnegOp{#1}}
\vardef[name=rminus]{rminusOp}{-}
\vardef{rminus}[2]{\infix[p=350]\rminusOp{#1}{#2}}
\vardef{rmulOp}{\ast}
\vardef[assocarg=1]{rmul}[1]{\assoc[p=400]\rmulOp{#1}}
\vardef{raddOp}{+}
\vardef[assocarg=1]{radd}[1]{\assoc[p=500]\raddOp{#1}}
\vardef{rzero}{0}
\vardef{rone}{1}
\vardef[name=pole]{poleOp}{\leq}
\begin{definition}
Let $\cM$ be a \trefi[ring-module]{module} over an \trefi[partial-order]{ordered}
\trefi[ring]{ring} $\cR=\mvstructure{R,\raddOp,\rzero,\rnegOp,\rmulOp,\rone,\poleOp}$
with \trefii[ring-module]{base}{set} $M$ and the \trefi[ring-module]{operation}s
$\vaddOp$, $\vinvOp$, and $\smulOp$, then we call a set $\sseteq{S}{M}$ is called
\defi{convex}, iff
$\sseteq{\bsetst{t}{\vadd{\smul{t}a,\smul{\rminus1t}b}}{\pobetween{a}\poleOp{x}\poleOp{b}}}S$
for all $\minset{a,b}S$.
\end{definition}
\end{modnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modsig}[creators=miko]{convex}
\gimport[smglom/linear-algebra]{ring-module}
\gimport[smglom/sets]{partial-order}
\symi{convex}
\end{modsig}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modnl}[creators=miko]{convexhull}{de}
\begin{definition}
Ist $\cM$ ein \trefi[ring-module]{module} "uber einem
\mtrefi[partial-order?ordered]{geordneten} \mtrefi[ring?ring]{Ring} und
$\sseteq{S}{M}$, wo $M$ die \mtrefii[ring-module?base-set]{Grundmenge} von $\cM$ ist,
so ist die \defii[convex-hull]{konvexe H"ulle} von $M$ der Schnitt aller
\mtrefi[convex?convex]{konvexen} Mengen, die $S$ enthalten.
\end{definition}
\end{modnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modnl}[creators=miko]{convexhull}{en}
\begin{definition}
Let $\cM$ be a \trefi[ring-module]{module} over an \trefi[partial-order]{ordered}
\trefi[ring]{ring} and $\sseteq{S}{M}$, where $M$ is the
\trefii[ring-module]{base}{set} of $\cM$, then the \defii{convex}{hull} of $S$ is the
intersection of all \trefi[convex]{convex} sets containing $S$.
\end{definition}
\end{modnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modsig}[creators=miko]{convexhull}
\gimport{convex}
\symii{convex}{hull}
\end{modsig}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modnl}[creators=miko]{convexpolytope}{de}
\begin{definition}
Ein \defii[convex-polytope]{konvexes}{Polytop} ist definiert als die
\mtrefii[convexhull?convex-hull]{konvexe}{H"ulle} einer Menge von Punkten im
\mtrefii[nspace?Euclidean-space]{Euklidischen}{Raum}.
\end{definition}
\end{modnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modnl}[creators=miko]{convexpolytope}{en}
\begin{definition}
A \defii{convex}{polytope} is defined as the \trefii[convexhull]{convex}{hull} of a
set of points in \trefii[nspace]{Euclidean}{space}.
\end{definition}
\end{modnl}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
\begin{modsig}[creators=miko]{convexpolytope}
\gimport[smglom/linear-algebra]{nspace}
\gimport{convexhull}
\symii{convex}{polytope}
\end{modsig}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
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