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\begin{modnl}[creators=jusche]{frugalnumber}{de}
\begin{definition}
Eine \defi[frugal-number]{Frugal-Zahl} ist eine
\mtrefi[naturalnumbers?natural-number]{nat"urliche Zahl}, die mehr
\mtrefi[positional-number-system?digit]{Ziffer}n hat als die Anzahl der
\mtrefi[positional-number-system?digit]{Ziffer}n in ihrer
\mtrefi[primefactorization?prime-factorization]{Primfaktorzerlegung} (einschlie"slich
der Exponenten gr"o"ser als $1$).
Die ersten Zahlen sind
\[\infseq{125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250, 1280, 1331, 1369, 1458}\]
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modnl}[creators=jusche]{frugalnumber}{en}
\begin{definition}
A \defii{frugal}{number} is a \trefii[naturalnumbers]{natural}{number} that has more
\trefi[positional-number-system]{digit}s than the number of
\trefi[positional-number-system]{digit}s in its
\trefii[primefactorization]{prime}{factorization} (including exponents greater than
$1$).
The first numbers are
\[\infseq{125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250, 1280, 1331, 1369, 1458}\]
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modsig}[creators=jusche]{frugalnumber}
\gimport[smglom/numberfields]{positional-number-system}
\gimport[smglom/numberfields]{naturalnumbers}
\gimport[smglom/calculus]{sequences}
\gimport[smglom/primes]{primefactorization}
\symii{frugal}{number}
\end{modsig}
\begin{modnl}[creators=jusche]{harmonicseries}{de}
\begin{definition}
Die \defii[harmonic-series]{harmonische}{Reihe} ist die divergente unendliche
\mtrefi[series?series]{Reihe} \[\infinitesum{n}1{\frac1n}\]
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modnl}[creators=jusche]{pythagoreantriple}{de}
\begin{definition}
Ein \defii[Pythagorean-triple]{pythagoreisches}{Zahlentripel} besteht aus drei positiven
\mtrefii[integernumbers?integers]{ganzen}{Zahlen} $a$, $b$, und $c$, f"ur die
gilt $\power{a}2+\power{b}2 = \power{c}2$.
Ein pythagoreisches Tripel hei"st \defi[primitive]{primitiv} wenn $a$, $b$ und $c$
\mtrefi[coprime?coprime]{teilerfremd} sind.
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modnl}[creators=jusche]{pythagoreantriple}{en}
\begin{definition}
A \defii{Pythagorean}{triple} consists of three
\trefii[naturalnumbers]{natural}{number}s $a$, $b$ and $c$, such that $\power{a}2 +
\power{b}2 = \power{c}2$. A \defiii[primitive]{primitive}{Pythagorean}{triple} is one in
which $a$, $b$ and $c$ are \trefi[coprime]{coprime}.
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modsig}[creators=jusche]{pythagoreantriple}
\gimport[smglom/primes]{coprime}
\gimport[smglom/numberfields]{arithmetics}
\gimport[smglom/numberfields]{integernumbers}
\symdef{pythtriple}[3]{(#1, #2, #3)}
\symtest{pythtriple}{\pythtriple{3}{4}{5}}
\symii{pythagoreantriple}{primitive}
\symii{Pythagorean}{triple}
\symi{primitive}
\end{modsig}
\begin{modnl}[creators=jusche]{quasiperfectnumber}{de}
\begin{definition}
Eine \mtrefii[abundantnumber?abundant-number]{abundante}{Zahl} mit
\mtrefi[abundance?abundance]{Abundanz} $1$ nennt man eine
\defii[quasiperfect-number]{quasiperfekte}{Zahl} oder
\defii[quasiperfect-number]{leicht}{abundant}, allerdings wurde bisher noch keine
gefunden.
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modnl}[creators=jusche]{quasiperfectnumber}{en}
\begin{definition}
An \trefii[abundantnumber]{abundant}{number} with \trefi[abundance]{abundance} $1$ is
called a \defii{quasiperfect}{number}, although none have yet been found.
\end{definition}
\end{modnl}
\begin{modsig}[creators=jusche]{quasiperfectnumber}
\gimport[smglom/numbers]{abundantnumber}
\gimport[smglom/numthyfun]{abundance}
\symii{quasiperfect}{number}
\end{modsig}
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